题目

题型：0117 模拟题难度：来源：

由函数y=f(x)确定数列{a_n}，a_n=f(n)，若函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x)能确定数列{b_n}，b_n=f^-1(n)，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”。
（1）若函数f(x)=2确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设（λ为正整数），若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}， 求数列{t_n}前n项和S_n。

答案

解：（1）（n为正整数），
，
所以数列的反数列的通项公式（n为正整数）。
（2） 对于（1）中，不等式化为，
，
，
 ∴数列单调递增，
所以，，要使不等式恒成立，只要，
∵，
∴，
又，
所以，使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是。
（3）设公共项为正整数，
当λ为奇数时，，
，
则（表示是的子数列），，
所以，的前n项和；
当λ为偶数时，，
，则，同样有，，
所以，的前n项和。