题目

题型：同步题难度：来源：

设数列{a_n}满足a_n+1=a²₂-na_n+1，n∈N*。
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；
（2）当a₁≥2时，证明n∈N*，有a_n≥n+1。

答案

解：（1）由a₁=2，得a₂=a²₁-a₁+1=3，
由a₂=3，得a₃=a²₂-2a₂+1=4，
由a₃=4，得a₄=a²₃-3a₃+1=5
由此猜想a_n的一个通项公式为：a_n=n+1（n∈N*）。
（2）证明：①当n=1时，a₁≥2，不等式成立
②假设当n=k（k∈N*且k≥1）时不等式成立，即a_k≥k+1，
那么当n=k+1时，
a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+1
根据①和②，对于所有n∈N*，都有a_n≥n+1。