题目

题型：天津高考真题难度：来源：

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），其中λ＞0，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(Ⅲ)证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立。

答案

(Ⅰ)解：，
，
，
由此可猜想出数列{a_n}的通项公式为，
以下用数学归纳法证明
(1)当n=1时，a₁=2，等式成立；
(2)假设当n=k时等式成立，即，
那么，
，
这就是说，当n=k+1时等式也成立；
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N*都成立。
(Ⅱ)解：设， ①
， ②
当λ≠1时，①式减去②式，得，
，
这时数列{a_n}的前n项和；
当λ=1时，，
这时数列{a_n}的前n项和。
(Ⅲ)证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
， ③
由λ＞0知，，要使③式成立，只要，
因为
＞4λ·，
所以③式成立；
因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立。