题目

题型：四川省月考题难度：来源：

已知数列{x_n}满足x₁=4，x_n+1=，
（Ⅰ）求证：x_n＞3；
（Ⅱ）求证：x_n+1＜x_n；
（Ⅲ）求数列{x_n}的通项公式。

答案

（Ⅰ） 证明：用数学归纳法证明
1）当n=1时，，所以结论成立；
2）假设n=k（n≥1）时结论成立，即，
则，
所以，
即n=k+1时，结论成立；
由1）2）可知对任意的正整数n，都有；
（Ⅱ）证明：，
因为，
所以，
所以。
（Ⅲ）解：，
，
所以，
又，
所以，
又，
令，则数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
由，
所以。