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题目
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已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:(1)不等式f(x)≤0 的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立。设数列{an}的前n项和Sn=f(n),
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和;
(3)设各项均不为零的数列{cn}中,所有满足cici+1<0的正整数的个数称为这个数列{cn}的变号数。另(n为正整数),求数列{cn}的变号数。
答案
解:(1)∵不等式f(x)≤0 的解集有且只有一个元素,

∵在定义域内,使得不等式成立,
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是递减函数,
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,
故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立;
综上,得
当n=1时,
当n≥2时,

(2)∵,  ①
,  ②
①-②得:


(3)由题设
∵n≥3时,
∴n≥3时,数列{cn}递增,
,由,可知
即n≥3时,有且只有1个变号数,
又∵,即
∴此处变号数有2个,
数列{cn}共有3个变号数,即变号数为3。
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:(1)不等式f(x)≤0 的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…。
(1)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=(将A用a表示);
(2)设bn=an-A,n=1,2,…,证明:
(3)若|bn|≤对n=1,2,…都成立,求a的取值范围。
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已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an(4-an),n∈N,
(1)证明an<an+1<2,n∈N;
(2)求数列{an}的通项公式an
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在数列中,,则数列的通项可能是[     ]
A.  
B.  
C.  
D.
题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
若数列{an}满足,则an=(    )。
题型:湖南省月考题难度:| 查看答案
在数列中,=3,(n≥2,且),数列的前n项和. (1)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;
(2)求
(3)设,求的最大值。
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