题目

题型：模拟题难度：来源：

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立。设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_ic_i+1＜0的正整数的个数称为这个数列{c_n}的变号数。另（n为正整数），求数列{c_n}的变号数。

答案

解：（1）∵不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素，
∴，
∵在定义域内，使得不等式成立，
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是递减函数，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
综上，得，
当n=1时，；
当n≥2时，；
∴；
（2）∵，  ①
∴，  ②
①－②得：
，
∴；
（3）由题设，
∵n≥3时，，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵，由，可知，
即n≥3时，有且只有1个变号数，
又∵，即，
∴此处变号数有2个，
数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3。