题目

题型：模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），记，
（1）求a_n；
（2）试比较f（n+1）与的大小（n∈N*）；
（3）求证：（n∈N*）。

答案

解：（1）∵，①
∴，②
②－①，得，
即，
在①中令n=1，可得，
∴{a_n}是首项为a₁=p，公比为p的等比数列，。
（2）由（1）可得，
，
∴，
，
而，且p＞1，
∴，
∴，（n∈N*）。
（3）由（2）知，（n∈N*），
∴当n≥2时，，
∴
，（当且仅当n=1时取等号）；
另一方面，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，



，
∵，
∴，
∴，（当且仅当k=n时取等号），
∴（当且仅当n=1时取等号）；
综上所述，，（n∈N*）。