题目

题型：四川省月考题难度：来源：

数列{a_n}中，S₁=1，S₂=2，S _n+1﹣3S_n+2S _n﹣1=0（n≥2），求数列的通项a_n以及数列前n项和S_n．

答案

解：∵数列{a_n}中，S₁=1，S₂=2，S _n+1﹣3S_n+2S _n﹣1=0（n≥2），
∴a₁=1，a₂=1，
且 S _n+1﹣S _n﹣2 S _n+2 S _n﹣1=0（n∈N*且n≥2），
即（S _n+1﹣S_n）﹣2（S_n﹣S _n﹣1）=0（n∈N*且n≥2），
∴a _n+1=2a_n（n∈N*且n≥2），
故数列{a_n}从第2项起是以2为公比的等比数列．
数列{a_n}的通项公式为  a_n= ．
当n=1时，S_n =1．
当n≥2时，S_n =1+ =2 ^n﹣1．
综上可得 S_n =2 ^n﹣1．