题目

题型：不详难度：来源：

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=______．（2）S（n）=

4n+2

3

．

答案

（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．
S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=4³+S（3）
=4³+4²+S（2）
=4³+4²+4¹+S（1）=86．
（2）S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），
又S₁=N（1）=1，
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=

4n+2

3

．