题目

题型：不详难度：来源：

已知公比为正数的等比数列{a_n}满足：a₁=3，前三项和S₃=39．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（1）∵公比为正数的等比数列{a_n}中a₁=3，S₃=39
∴3+3q+3q²=39解得q=3或-4（舍去）
∴a_n=a₁q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ，
（2）∵b_n=a_n•log₃a_n，
∴b_n=3ⁿ•log₃3ⁿ=n•3ⁿ，
∴T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ；          ①
3T_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹；②
由①-②得-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹=

3

2

(3n-1)-n•3ⁿ⁺¹；
∴T_n=（

n

2

-

1

4

）3ⁿ⁺¹+

3

4

∴数列{b_n}的前n项和T_n=（

n

2

-

1

4

）3ⁿ⁺¹+

3

4