题目

题型：北京模拟题难度：来源：

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知数列{r_n}为递增数列。
（1）证明：数列{r_n}为等比数列；
（2）设r₁=1，求数列的前n项和。

答案

解：（1）将直线的倾斜角记为θ
则有
设C_n的圆心为（λ_n，0）（n∈N*）
则由题意知
得，同理
依题意知 ①
将代入①，解得
故数列{r_n}是以3为公比的等比数列。
（2）由于
故
从而
记
则有

②-③，得


则。