题目

题型：上海难度：来源：

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2．设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，┅，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a=2^

2

2k-1

，数列{b_n}满足b_n=

1

n

log2(a1a2…an)（n=1，2，┅，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{b_n}满足不等式|b₁-

3

2

|+|b₂-

3

2

|+┅+|b_2k-1-

3

2

|+|b_2k-

3

2

|≤4，求k的值．

答案

由题意：
（1）证明：
当n=1时，a₂=2a，则

a2

a1

=a；
当2≤n≤2k-1时，a_n+1=（a-1）S_n+2，a_n=（a-1）S_n-1+2，
∴a_n+1-a_n=（a-1）a_n，
∴

an+1

an

=a，
∴数列{a_n}是等比数列．
（2）由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿ a^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿa

n(n-1)

2

=2n+

n(n-1)

2k-1

，
b_n=

1

n

[n+

n(n-1)

2k-1

]=

n-1

2k-1

+1（n=1，2，2k）．
（3）设b_n≤

3

2

，解得n≤k+

1

2

，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜

3

2

；
当n≥k+1时，b_n＞

3

2

．
原式=（

3

2

-b₁）+（

3

2

-b₂）++（

3

2

-b_k）+（b_k+1-

3

2

）++（b_2k-

3

2

）
=（b_k+1++b_2k）-（b₁++b_k）
=[

1 2 (k+2k-1)k

2k-1

+k]-[

1 2 (0+k-1)k

2k-1

+k]=

k2

2k-1

．
当

k2

2k-1

≤4，得k²-8k+4≤0，4-2

3

≤k≤4+2

3

，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，
原不等式成立．