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题目
题型:杭州二模难度:来源:
数列{an}的前n项和Sn满足:t(Sn+1+1)=(2t+1)S n  n∈N*.
(1)求证{an}是等比数列;
(2)若{an}的公比为f(t),数列{bn}满足:b1=1,bn+1=f(
1
bn
),求{bn}的通项公式;
(3)定义数列{cn}为:cn=
1
bn+1bn
,求{cn}的前n项和Tn,并求
lim
n→∞
Tn
答案
(1)由:t(Sn+1+1)=(2t+1)Sn
得t(Sn+1)=(2t+1)Sn-1
相减得:
an+1
an
=2+
1
t

∴{an}是等比数列.
(2)bn+1=f(
1
bn
)=2+bn
∴bn+1-bn=2,b1=1,
得bn=2n-1.
(3)cn=
1
bn+1bn
=
1
(2n+1)(2n-1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

∴Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)++(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)

lim
n→∞
Tn
=
1
2
.(5分)
核心考点
试题【数列{an}的前n项和Sn满足:t(Sn+1+1)=(2t+1)S n  n∈N*.(1)求证{an}是等比数列;(2)若{an}的公比为f(t),数列{bn}】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列{an},a1=
5
6
,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.
(1)求证:{an-
1
2
}为等比数列;
(2)求an
(3)求{an}的前n项和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}中,a1=1,an=
1
2
an-1+1(n≥2),求通项公式an
题型:不详难度:| 查看答案
我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
题型:上海难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
题型:怀柔区二模难度:| 查看答案
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第1列第2列第3列第n列
第1行1111
第2行q
第3行q2
第n行qn-1
已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时,f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时,f(x)的值域为[a3,b3],…当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)的值域为[an,bn],其中a,b为常数,a1=0,b1=1.
(Ⅰ)a=1时,求数列{an}与{bn}的通项;
(Ⅱ)设a>0且a≠1,若数列{bn}是公比不为1的等比数列,求b的值;
(Ⅲ)若a>0,设{an}与{bn}的前n项和分别记为Sn与Tn,求(T1+T1+…+Tn)-(S1+S2+…+Sn)的值.
已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*).若数列{bn}
是一个非零常数列,则称数列{an}是一阶等差数列;若数列{cn}是一个非零常数列,则称数列{an}是二阶等差数列.
(Ⅰ)试写出满足条件a1=1,b1=1,cn=1的二阶等差数列{an}的前五项;
(Ⅱ)求满足条件(Ⅰ)的二阶等差数列{an}的通项公式an
(Ⅲ)若数列{an}的首项a1=2,且满足cn-bn+1+3an=-2n+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.