题目

题型：不详难度：来源：

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=(

1

2

)x图象上．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设a_n=n（n为正整数），过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试求最小的实数t，使c_n≤t对一切正整数n恒成立；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试探究2008是否数列{S_n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由已知bn=(

1

2

)an，
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常数），
所以，数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）若a_n=n，则bn=(

1

2

)n，
∴Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，
直线P_nP_n+1的方程为y-(

1

2

)n=-(

1

2

)n+1(x-n)，
它与x轴，y轴分别交于点A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，
∴cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，
cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0，
∴数列{c_n}随n增大而减小，
∴cn≤c1=

9

8

，即最小的实数t的值为

9

8

．
（Ⅲ）∵a_n=n，∴数列{d_n}中，从第一项a₁开始到a_k为止（含a_k项）的所有项的和是：
（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
当k=7时，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，
而当k=8时，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008．
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
所以存在自然数m，使S_m=2008．
此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．