题目

题型：不详难度：来源：

设数列的前项和为，且.
（1）求
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前项和.

答案

（1）a₁="3" a₂="8" a₃=18（2）见解析（3）T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×

解析

（1）令n=1,2,3，根据求出
(2)根据，得到,两式相减可得
,所以,问题到此基本得以解决.
(3)在（2）的基础上，求出的通项公式,再根据通项公式的特点选用合适的数列求和的方法求和即可.
解：(1)由题意，当n=1时，得2a₁=a₁+3,解得a₁=3
当n=2时，得2a₂=(a₁+a₂)+5,解得a₂="8"
当n=3时，得2a₃=(a₁+a₂+a₃)+7,解得a₃="18"
所以a₁=3,a₂=8,a₃=18为所求.·························· 3分
(2)因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立
两式相减得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2
所以a_n+1=2a_n+2(nN^*)，即a_n+1+2=2(a_n+2)
所以数列{a_n+2}是以a₁+2=5为首项，公比为2的等比数列·············· 7分
(3)由(2)得：a_n+2=5×2^n-1,即a_n=5×2^n-1-2(nN^*)
则na_n=5n·2^n-1-2n(nN^*)··························· 8分
设数列{5n·2^n-1}的前n项和为P_n,
则P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×(n-1)·2^n-2+5×n·2^n-1,········· 10分
所以2P_n=5×2×2¹+5×3×2²+5×3×2³+…+5(n-1)·2^n-1+5×n·2ⁿ,
所以-P_n=5(1+2¹+2²+…+2^n-1)-5n·2ⁿ,
即P_n=(5n-5)·2ⁿ+5(nN^*)·························· 12分
所以数列{n·a_n}的前n项和T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×,
整理得，T_n=(5n-5)·2ⁿ-n²-n+5(nN^*)   13分