题目
题型:西城区一模难度:来源:
an+an+2 |
2 |
(1)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,证明:{Sn}∈W
(2)设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,且{bn}∈W,求M的取值范围;
(3)设数列{cn}的各项均为正整数,且{cn}∈W,证明:cn<cn+1.
答案
所以Sn=na1+
n(n-1) |
2 |
由
Sn+Sn+2 |
2 |
1 |
2 |
得
Sn+Sn+2 |
2 |
又Sn=-n2+9n=-(n-
9 |
2 |
81 |
4 |
综上,{Sn}∈W(4分)
(2)因为bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n
所以当n≥3时,bn+1-bn<0,此时数列{bn}单调递减;
当n=1,2时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3,因此数列{bn}中的最大项是b3=7
所以M≥7(8分)
(3)假设存在正整数k,使得ck>ck+1成立
由数列{cn}的各项均为正整数,可得ck+1≤ck-1
因为
ck+ck+2 |
2 |
由ck+2≤2ck+1-ck及ck>ck+1,得ck+2<2ck+2-ck+1=ck+1,故ck+2≤ck+1-1
因为
ck+1+ck+3 |
2 |
依此类推,可得ck+m≤ck-m(m∈N*)
设ck=p(p∈N*),则当m=p时,有ck+p≤ck-p=0
这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾!
所以假设不成立,即对于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.(16分)
核心考点
试题【设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①an+an+22≤an+1;②an≤M,其中n∈N*,M是与n无关的常数.(1)若{an}是等差数列,Sn】;主要考察你对等差数列的前N项和等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
A.16 | B.12 | C.8 | D.6 |
(1)求an及Sn.
(2)令bn=
4 |
an+1•an |
an+an+2 |
2 |
(I)若数列{an} 的前n项和为Sn,且Sn=2n-1,试判断数列{an} 是否为上凸有界数列;
(Ⅱ)若数列{bn}是等差数列,Tn为其前n项和,且b3=4,T3=18,试证明:数列{Tn}为上凸有界数列.
A.6 | B.7 | C.8 | D.9 |
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