题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长，交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号(类似于抽签)的方法进行控制，制定如下方案：
①每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到号的用户不再参加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请．
预计2012年1月申请车牌的用户有10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌；计划2012年1月发放车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%，以2012年1月为第一个月，设前n(n∈N*)个月申请车牌用户的总数为a_n，前n个月发放车牌的总数为b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整数为n₀，(参考数据：1.05¹⁶=2.18，
1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41 )，
(1)求a_n，b_n关于n的表达式，直接写出n₀的值，说明n₀的实际意义；
(2)当n≤n₀，n∈N*时，设第n个月中签率为y_n，求证：中签率y_n随着n的增大而增大。
(第n个月中签率=)

答案

解：(1)a_n=10a+(n-1)a=(n+9)a，
，
由a_n＞b_n，得n₀=17，
说明17个月以后，该项政策可取消，不需要摇号就可以直接上牌．
(2)当n=1时，，
当1＜n≤17时，，
∴，
当2≤n≤17时，
，
∴，
∵ n∈N*，n≤17时，，
∴，
∴，∴，
∴，
即y_n随着n的增大而增大．