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题目
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已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,数列{bn}中,b1=1,且点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)若cn=an+3,求数列{bncn}的前n项和Sn
答案
(Ⅰ)由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3)
所以{an+3}是首项为a1+3=4,公比为2的等比数列.
所以an+3=4×2n-1=2n+1,故an=2n+1-3
(Ⅱ)因为(bn+1,bn)在直线y=x-1上,
所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1又b1=1
故数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,
所以bn=n
(Ⅲ)cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1故bncn=n•2n+1
所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1
故2Sn=1×23+2×24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2
相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=
4(2n-1)
2-1
-n•2n+2=(1-n)2n+2-4

所以Sn=(n-1)•2n+2+4
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,数列{bn}中,b1=1,且点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
数列{an}是公差不为0的等差数列,且a2+a6=a8,则
S5
a5
=______.
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已知等差数列{an}的公差d不为0,且a1,a3,a7成等比数列,则
a1
d
=______.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),在数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求Tn
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且有Sn=
1
2
n2+
11
2
n,数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9项和为153;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设cn=
3
(2an-11)(2bn-1)
,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn
k
57
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
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已知数列{an}的前项和为Sn,且满足Sn=
1
2
n2+
3
2
n(n≥1,n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{
1
anan+1
}的前n项和,求使不等式Tn
1005
2012
成立的n的最小值.
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