题目

题型：佛山一模难度：来源：

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

解析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
又a1=S1=21+1-2=2，也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为an=2n．
b₁=a₁=2，设公差为d，由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），化为d²-3d=0．
解得d=0（舍去）d=3，
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-1．
（2）由（1）可得T_n=

2

21

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-1

2n

，
∴2T_n=2+

5

21

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

，
两式相减得T_n=2+

3

21

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-1

2n

，
=2+

3 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

．