题目
题型:上海难度:来源:
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;
(2)找出所有数列{an}和{bn},使对一切n∈N*,
an+1 |
an |
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项,请证明.
答案
整理后,可得k-2m=
4 |
3 |
∴不存在m、k∈N*,使等式成立.
(2)设an=nd+c,若
an+1 |
an |
且{bn}为等比数列,则
an+2 |
an+1 |
an+1 |
an |
即anan+2=qan+12,∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2,
对n∈N×都成立,∴d2=qd2
(i)若d=0,则an=c≠0,∴bn=1,n∈N*.
(ii)若d≠0,则q=1,∴bn=m(常数),即
dn+d+c |
dn+c |
综上所述,有an=c≠0,bn=1,使对一切n∈N×,
an+1 |
an |
(3)an=4n+1,bn=3n,n∈N*,
设am+1+am+2++am+p=bk=3k,p、k∈N*,m∈N.
4(m+1)+1+4(m+p)+1 |
2 |
∴4m+2p+3=
3k |
p |
∵p、k∈N*,∴p=3s,s∈N
取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,由
二项展开式可得整数M1、M2,
使得(4-1)2s+2=4M1+1,2×(4-1)s=8M2+(-1)S2
∴4m=4(M1-2M2)-((-1)S+1)2,
∴存在整数m满足要求.
故当且仅当p=3s,s∈N,命题成立.
核心考点
试题【已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;(2)找出所有数】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列;
(Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值.
A.
| B.39 | C.
| D.117 |
OB |
OA |
OC |
A.4 | B.5 | C.6 | D.10 |
①S2009=2009;②S2010=2010;③a2009<a2;④S2009<S2.
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