题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证数列{bn}是等差数列;
(Ⅱ)如果a1=1,b1=
2 |
答案
an+12=bn2bn+12,②(1分)
因为an>0,bn>0,所以由式②得an+1=bnbn+1,
从而当n≥2时,an=bn-1bn,
代入式①得2bn2=bn-1bn+bnbn+1,(3分)
故当n≥2时,2bn=bn-1+bn+1(n≥2),
∴数列bn是等差数列.(4分)
(II)由a1=1,b1=
2 |
3 |
2 |
2 |
因此bn 的公差 d=
| ||
2 |
从而bn=b1+(n-1)d=
| ||
2 |
得an+1=
1 |
2 |
所以当n≥2时,an=
n(n+1) |
2 |
又a1=1也适合式③,
∴an=
n(n+1) |
2 |
设P=2n,Q=2n-n(n+1),
当n=1时,P=Q,当n=2,3,4时,P<Q
当n=5时,P>Q,当n=6时,P>Q
由此猜想当n≥5时,P>Q(8分)
以下用数学归纳法证明.
(1)当N=5时,P>Q显然成立,(9分)
(2)假设当n=k(k≥5)时,
P>Q成立,即2n>k(k+1)-k2+k成立,
则当n=k+1时,P=2K+1=2•2k>2k2+2k
=(k2+2k+1)+(k+1)+(k2-k-2)=(k+1)2+(k+1)+(k+1)(k-2)
∵k≥5,∴(k+1)(k-2)>0即P=2k+1>(k+1)2+(k+1)成立.
故当n=k+1时,P>Q成立.
由(1)、(2)得,当n≥5时,
P>Q成立.(11分)
因此,当n=1时,2n=2an,
当n=2,3,4时,2n<2an,
当n≥5时,2n>2an.(12分)
核心考点
试题【设数列{an},{bn}的各项均为正数,若对任意的正整数n,都有an,bn2,an+1成等差数列,且bn2,an+1,bn+12成等比数列.(Ⅰ)求证数列{bn】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
3 |
1 |
an |
(1)比较f(n)与f(n+1)的大小;
(2)若g(x)=log2x-12f(n)<0,在x∈[a,b]且对任意n>1,n∈N*恒成立,求实数a,b满足的条件.
A.2 | B.3 | C.
| D.8 |
an+1 |
an |
n+1 |
n |
A.等差数列 |
B.等比数列 |
C.既是等差数列又是等比数列 |
D.既非等差数列又非等比数列 |
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