题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a_2n-1=2n，S_n为数列{

1

an

}的前n项和，设f（n）=S_2n-S_n，
（1）比较f（n）与f（n+1）的大小； 
（2）若g（x）=log₂x-12f（n）＜0，在x∈[a，b]且对任意n＞1，n∈N^*恒成立，求实数a，b满足的条件．

答案

（1）∵数列{a_n}为等差数列，且a₁+a_2n-1=2n，令n=1可得 a₁ =1，再令n=2可得a₂=2，故 a_n=n．
f（n+1）-f（n）=S_2（n+1）-S_n+1-[S_2n-S_n]=S_2（n+1）-S_2n-（S_n+1-S_n）
=a_2n+2+a_2n+1-a_n+1=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．（6分）
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，必需 log₂x＜12 f（2）成立．（8分）
∵f（2）=S₄-S₂=

7

12

，∴log₂x＜7，
∴0＜x＜128，∴0＜a＜b＜128．