已知数列{an}中，a1=0，an+1=an•q+qn+1（q＞0），bn=an+2n，n=1，2，3，…．（I）求证数列{anqn}是等差数列；（II）试比较 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0），b_n=a_n+2ⁿ，n=1，2，3，…．
（I）求证数列{

}是等差数列；
（II）试比较b₁b₃与b₂²的大小；
（III）求正整数k，使得对于任意的正整数n，

bk+1

≤

bn+1

恒成立．

答案

（I）∵a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0）
∴

an+1

qn+1

an•q+qn+1

qn+1

+1，又

=0，
即数列{

}是以0为首项，1为公差的等差数列（3分）
且

=n-1，a_n=（n-1）qⁿ（n=1，2，3）
（II）b_n=a_n+2ⁿ=（n-1）qⁿ+2ⁿ（4分）
∴b₁=2，b₂=q²+4，b₃=2q³+8（5分）
∴b₂²-b₁b₃=（q²+4）²-2（2q³+8）=（q⁴+8q²+16）-4q³-16=q⁴-4q³+8q²=q²（q²-4q+8）=q²[（q-2）²+4]＞0
∴b₂²＞b₁b₃（8分）

（III）∵b_n=（n-1）qⁿ+2ⁿ，n=1，2，3，…，∴b_n＞0
b₁=2，b₂=q²+4，b_n+1=nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

bn+1

b2bn-b1bn+1

b2bn+1

又b₂b_n-b₁b_n+1=（q²+4）[（n-1）qⁿ+2ⁿ]-2（nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）
=[（q²+4）（n-1）-2nq]qⁿ+q²•2ⁿ
①当n=1时，b₂b_n-b₁b_n+1=0，即

bn+1

②当n≥2时，∵q＞0，q²+4≥2•q•2=4q
∴（q²+4）（n-1）-2nq≥4（n-1）q-2nq=2（n-2）q≥0又q²•2ⁿ＞0
∴b₂b_n-b₁b_n+1＞0
由①②得

bn+1

b2bn- b1bn+1

b2bn+1

≥0，即对于任意的正整数n，

≤

bn+1

恒成立
故所求的正整数k=1．

核心考点

试题【已知数列{an}中，a1=0，an+1=an•q+qn+1（q＞0），bn=an+2n，n=1，2，3，…．（I）求证数列{anqn}是等差数列；（II）试比较】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知

=(1，0)，

=(cos2

nπ

，sin

nπ

)，

=(an，sin

nπ

)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+

)•

．
（I）求证：数列{a_2k-1}是等差数；数列{a_2k}是等比数列；（其中k∈N^*）；
（II）记a_n=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

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已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，且d≠0，数列{b_n}是公比为q的等比数列，且a₁=1，a₂=b₁，a₅=b₂，a₁₄=b₃，则d=______，q=______．

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已知a、b、c为等比数列，b、m、a和b、n、c是两个等差数列，则

=______．

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数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，且数列{

an+1

}是等差数列，则a₁₁=______．

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已知正数列{a_n}中的前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

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