题目

题型：不详难度：来源：

已知动圆Q经过点A,且与直线相切，动圆圆心Q的轨迹为曲线C，过定点作与y轴平行的直线且和曲线C相交于点M₁,然后过点M₁作C的切线和x轴交于点,再过作与y轴平行的直线且和C相交于点M₂,又过点M₂作C的切线和x轴交于点,如此继续下去直至无穷，记△的面积为
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试求的值。

答案

（Ⅰ）曲线C的方程为 
（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）由题意知，动圆圆心Q到点A和到定直线的距离相等，
∴动圆圆心Q的轨迹是以点A为焦点，以直线为准线的抛物线
∴曲线C的方程为。 -------------------------------------------------4分
（Ⅱ）如图，设点，则的坐标为，
，∴曲线C在点处的切线方程为： -----------7分

令y＝0，得此切线与x轴交点的横坐标，即，， ---------10分
∴
∴数列是首项公比为的等比数列， -----12分
 -------------14分