题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是其前n项和，且S₃，S₉，S₆成等差数列
（1）求证：a₂ , a₈, a₅也成等差数列
（2）判断以a₂, a₈, a₅为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{a_n}中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由

答案

（1）同解析；（2）₂, a₈, a₅为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{a_n}中的一项.

解析

 （1）S₃=3a₁, S₉=9a₁, S₆=6a₁, 而a₁≠0，所以S₃，S₉，S₆不可能成等差数列
所以q≠1，则由公式 
即2q⁶=1+q³ ∴2q⁶a₁q=a₁q+q³a₁q , ∴2a₈=a₂+a₅ 所以a₂, a₈, a₅成等差数列
（2）由2q⁶=1+q³=－ 
要以a₂, a₈, a₅为前三项的等差数列的第四项是数列{a_n}中的第k项，
必有a_k－a­₅=a₈－a­₂,所以 所以
由k是整数，所以不可能成立，所以a₂, a₈, a₅为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{a_n}中的一项.