题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：
①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；
②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；
再利用可求得，进而求得．
根据上述结论求下列问题：
（1）当，（）时，求数列的通项公式；
（2）当，（）时，求数列的通项公式；
（3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析

（1）由可知特征方程为：
， …………………3分
所以 设  ，由得到，
所以  ； …………………6分
（2）由可以得到
设，则上述等式可以化为：…………………8分
，所以对应的特征方程为：
，…………………10分
所以令  ，由可以得出
所以…………………11分
即 …………………12分
（3）同样可以得到通项公式………14分
所以
 



即    …………………14分



即  ，…………………16分
因此除以的余数，完全由除以的余数确定，
因为 所以 ，
，，
，，
，，
，，
由以上计算及可知，数列各项除以的余数依次是：
它是一个以为周期的数列，从而除以的余数等价于除以的余数，所以，，
即所求集合为：…………………18分