题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）
已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ) 设 (N^*).
①证明：；
② 求证：.

答案

(Ⅰ) n(Ⅱ)见解析

解析

(Ⅰ)当时，由得.  2分
若存在由得，
从而有，与矛盾，所以.
从而由得得.    6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵∴
∴ 
∴.     10分
证法二：，下同证法一.           10分
证法三：（利用对偶式）设，，
则.又，也即，所以，也即，
又因为，所以.即
                10分
证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,

   即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.         10分
②由于，
所以，
从而.
也即      14分