题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．
设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．
（1）若，，成等比数列，求其公比．
（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．
（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项．求证：当为大于1的正整数时，该数列为的无穷等比子数列．

答案

略

解析

（1）解：由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）
（2）解：设等比数列为，其公比，，（6分）
由题设．
假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，
即，得，（8分）
当时，，与假设矛盾，
故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）
（3）即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．
在等比数列中，，（12分）
在等差数列中，，，（14分）
若为数列中的第项，则由，得，
整理得，（16分）
由，均为正整数，得也为正整数，
故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．（18分）