题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分 13分）
集合为集合的个不同的子集，对于任意不大于的正整数满足下列条件：
①，且每一个至少含有三个元素；
②的充要条件是（其中）。
为了表示这些子集，作行列的数表（即数表），规定第行第列数为：。
（1）该表中每一列至少有多少个1；若集合，请完成下面数表（填符合题意的一种即可）；

（2）用含的代数式表示数表中1的个数，并证明；
（3）设数列前项和为，数列的通项公式为：，证明不等式：对任何正整数都成立。

答案

（1）见解析。
（2），证明见解析。
（3）证明见解析。

解析

（1）根据条件①每个中至少含有三个元素，作出的数表每一列至少有三个1。
数表如下：

	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1	1
2	1	0	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	1	0
4	1	0	1	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0	0	1
6	0	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	0	1	0

 
（2）题设条件①中的表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，与恰好一个为1，而另一个为0，即数表中除该对角线以外，0与1各占一半，故数表中共有个1。另一方面，根据题设条件①每一个至少含有三个元素得：作出的数表的每一列至少有3个1，所以整个数表（共有列）至少有个1，因此列出不等式：，解得。
（3）
检验也成立，故
证法一：要证：，只要证：
，
故只要证：，
即只要证：， 又

所以命题得证。
证法二：同上       又

所以 
即，故