题目
题型:不详难度:来源:
证明以下命题:
(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;
(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
答案
解析
所以对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列.
(2)若成等差数列,则有,
即 …… ①
选取关于的一个多项式,例如,使得它可按两种方式分解因式,由于
因此令,可得 …… ②
易验证满足①,因此成等差数列,
当时,有且
因此为边可以构成三角形.
其次,任取正整数,假若三角形与相似,则有:
,据比例性质有:
所以,由此可得,与假设矛盾,
即任两个三角形与互不相似,
所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
核心考点
试题【(本小题满分14分)证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列. 】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足+15=0。
(Ⅰ)若=5,求及a1;
(Ⅱ)求d的取值范围。
在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)记,证明.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 令,求数列的前n项和
(Ⅰ)若=,证明,,成等比数列()
(Ⅱ)若对任意,,,成等比数列,其公比为。 证明:对任意,,有
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