题目

题型：不详难度：来源：

（理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）试用表示，其中、均为正整数；
（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；
（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”

答案

解析

（1）解：不妨设，则有


，
∴ .
（2）（文科）解法一：由条件，可得
得：，由（1）中结论得：
。
解法二：，则
。
（理）由条件，可得
得：
，
则.
（3）（理科）推广的结论为：若公差为的等差数列的前项和为，
则该数列的前项和为：
+                    
…………（）
对正整数，可用数学归纳法证明如下：
1当时，由问题（1）知，等式（）成立；
2假设当时结论成立，即

，
当时，




，
这表明对等式（）也成立；
根据1、2知，对一切正整数，（）式都成立.
利用以上结论，问题解法如下：
由，
则利用探究结论可得：.
不利用以上结论，解法如下：
由
得：；
代入①可得.
所以，.