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题目
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(本小题满分14分)

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,
时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,若数列满足
,求证:数列为等差数列.
答案
(Ⅰ)证明:因为,且数列中各项都是正数,
所以
,               ①
因为数列是调和数列,故
所以.                                 ②
由①得
代入②式得,即.
. 所以数列是等比数列.    ………………………………5分
(Ⅱ)设的公比为,则,即.由于,故
于是
注意到第行共有个数,
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是
所以第行各数的和为.  …………10分
(Ⅲ)由 ,得
,所以,        ①
                        ②
②—① 得
,  ③
,  ④
④-③ 得 ,即.
所以为等差数列.           ………………………………………………14分
解析
略       
核心考点
试题【(本小题满分14分)若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)求证:数列是】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列的第10项
                  
A.B.C.D.

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(本小题共13分)
已知数列的前项和为,且满足
(Ⅰ)求证:{}是等差数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若,求证:
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等差数列中,,此数列的通项公式为        ,设是数列的前项和,则等于       
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(14分)
设集合W由满足下列两个条件的数列构成:

②存在实数M,使(n为正整数)
(I)在只有5项的有限数列
;试判断数列是否为集合W的元素;
(II)设是等差数列,是其前n项和,证明数列;并写出M的取值范围;
(III)设数列且对满足条件的常数M,存在正整数k,使
求证:
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(本小题共13分)
已知数列的前项和为,且.
数列满足(),且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值;
(Ⅲ)设是否存在,使得 成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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