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题目
题型:不详难度:来源:
已知各项均为正数的两个数列满足:
(1)设,求证:数列是等差数列;
(2)设,且是等比数列,求的值.
答案
(1)见解析
(2)
解析
(1)根据题设,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比
从而得到的结论,再由是公比是的等比数列。最后用反证法求出
解:(1)∵,∴

  。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
(2)∵,∴
。(﹡)
设等比数列的公比为,由,下面用反证法证明
,∴当时,,与(﹡)矛盾。
,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。∴,∴
又∵,∴是公比是的等比数列。
,则,于是
又由,得
中至少有两项相同,与矛盾。∴


【考点定位】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用,指数幂和根式的互化,数列通项公式的求解,注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法,本题是有关数列的综合题,从近几年的高考命题趋势看,数列问题仍是高考的热点、重点问题,在训练时,要引起足够的重视。
核心考点
试题【已知各项均为正数的两个数列和满足:,,(1)设,,求证:数列是等差数列;(2)设,,且是等比数列,求和的值.】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知等差数列的前5项和为105,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
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的各位数字之和,如,则;记,…,,则        .
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(本题满分16分)
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1, 
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
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设有一个边长为1的正三角形,设为A1,将A1的每边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后得到的图形记为A2,将A2的每边三等分,再重复上述过程,得到图形A3,再重复上述过程,得到图形A4,则A4的周长是_________________。 
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(本题满分14分) 设公比为正数的等比数列的前项和为,已知,数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在,使得是数列中的项?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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