题目

题型：不详难度：来源：

已知函数的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C，为数列 的前n项和
（I）求
（II）若数列满足，求数列的前n项和

答案

（I）S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*a_n＝2^n－1（n∈N^*）．（II）＝6（n－1）·2^n＋1－＋12

解析

本试题主要是考察了数列的通项公式和前n项和的关系式的运用。
（1）因为函数的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C，则可以得到 f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*），从而得到通项公式。
（2）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n．，结合错位相减法得到和式
（I）由，得，           ……2分
∴f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*）．……3分
∴当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1． ………4分
当n＝1时， S₁＝a₁＝1符合上式．                            ………5分
∴a_n＝2^n－1（n∈N^*）．                      ………6分
（II）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n． ………8分
从而T_n＝6（1×2＋2×2²＋…＋n×2ⁿ）－（1＋2＋…＋n）
错位相减法得：＝6（n－1）·2^n＋1－＋12．