题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）数列{a_n}满足：a₁=, 前n项和S_n=,
（1）写出a₂, a₃, a₄；（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

答案

（1）a₂=；a₃=；a₄=
（2）a_n=

解析

(1)根据a_n与S_n的关系，分别令n=2,3,4易求a₂, a₃, a₄；
(2)根据前四项，可以猜想出a_n的表达式，由于问题是与正整数n有关，因而可以考虑采用数学归纳法进行证明.在用数学归纳法进行证明时，分两个步骤：一是验证n=1，等式成立；
二是先假设n=k时，等式成立；然后再证明n=k+1时，等式也成立，再证明时一定要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效.
解：（1）令n="2," 得S₂=, 即a₁+a₂=3a₂ , 解得a₂=.    ……………1分
令n="3," 得S₃=，即a₁+a₂+a₃=6a₃, 解得a₃=.      ……………1分
令n=4，得S₄=，即a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄, 解得a₄=.  ……………1分
（2）由（1）的结果猜想a_n=, 下面用数学归纳法给予证明：……………1分
①当n=1时，a₁=，结论成立.                       ……………1分
②假设当n=k时，结论成立，即a_k=，                   ……………1分
则当n=k+1时，S_k=，       （1）                      ……………1分
S_k+1=,               （2）                      ……………1分
（2）-（1）得a_k+1=-,                    ……………2分
整理得a_k+1===，3分
即当n=k+1时结论也成立.
由①、②知对于n∈N₊，上述结论都成立.                            ……………1分