题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且.
(1) 求数列和的通项公式;
(2) 设是数列的前项和, 问是否存在常数,使得对任意N都成立,若存在, 求出的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

答案

（1），。（2）。

解析

试题分析：(1) ∵是关于的方程N的两根,
∴
由,得, 
故数列是首项为,公比为的等比数列.
∴, 即. 所以。
(2)
.、
要使对任意N都成立,
即(*)对任意N都成立.
当为正奇数时, 由(*)式得,
即,∵, ∴对任意正奇数都成立.当且仅当时, 有最小值.      ∴.
② 当为正偶数时, 由(*)式得,
即,∵,∴对任意正偶数都成立.
当且仅当时, 有最小值. ∴.            ……12分 
综上所述, 存在常数,使得对任意N都成立, 的取值范围是.
点评：本题主要考查用待定系数法求数列的通项公式和用分组求和法求数列的前n项和，属于常规题型。第二问主要体现了分类讨论的数学思想，属于难点。若已知递推式的形式求数列的通项公式，一般来说要在原递推式两边同除以来构造。