题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若,写出集合中的所有的元素;
(Ⅱ)若,且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列,求的所有可能取值构成的集合;
(Ⅲ)求证:.
答案
(Ⅱ)首项的所有可能取值的集合为{,}.
(Ⅲ)见解析.
解析
试题分析:(Ⅰ)将代入,依次写出集合的所有元素.
(Ⅱ)不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为,关键是理解好“如果是3的倍数,则;如果是被3除余1,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以;如果被3除余2,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以.”得到结论:该7项的等比数列的公比为.
(Ⅲ)分“被3除余1,被3除余2,,被3除余0”加以讨论,确定得到的关系为:,
从而利用
进一步得到,所以.数列中必存在某一项(否则会与上述结论矛盾!)
并对,,加以讨论,得到,.
此题较难,对考生逻辑思维能力要求较高
试题解析:(Ⅰ)集合的所有元素为:4,5,6,2,3,1.. 3分
(Ⅱ)不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为,
如果是3的倍数,则;如果是被3除余1,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以;如果被3除余2,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以.
所以,该7项的等比数列的公比为.
又因为,所以这7项中前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会多于7项),
设第7项为,则是被3除余1或余2的正整数,则可推得
因为,所以或.
由递推关系式可知,在该数列的前项中,满足小于2014的各项只有:
或,或,
所以首项的所有可能取值的集合为
{,}. 8分
(Ⅲ)若被3除余1,则由已知可得,;
若被3除余2,则由已知可得,,;
若被3除余0,则由已知可得,;
所以,
所以
所以,对于数列中的任意一项,“若,则”.
因为,所以.
所以数列中必存在某一项(否则会与上述结论矛盾!)
若,结论得证.
若,则;若,则,
所以. 13分
核心考点
试题【已知数列的首项其中,令集合.(Ⅰ)若,写出集合中的所有的元素;(Ⅱ)若,且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列,求的所有可能取值构成的集合;(Ⅲ)求证:.】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:数列是等比数列;
(2)数列满足,,求数列的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项和.
A. | B. | C. | D. |
(1)求数列,的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求数列的前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
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