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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列满足,且对任意的正整数均成等比数列.
(1)求的值;
(2)证明:均成等比数列;
(3)是否存在唯一正整数,使得恒成立?证明你的结论.
答案
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
解析

试题分析:本题考查数列的求值,等比数列的证明和研究不等式的恒成立问题.(1)通过题设条件给出的数列关系,求出数列的初始值;(2)根据等比数列的定义,分别得到证明,其中应说明第一项不为零;(3)探求是否存在唯一的正整数使得恒成立分两步求解,先通过数列的单调性得到,再证明证整数时唯一的,求解有关数列的综合问题,主要是要明确解题方向,合理利用数列的相关性质化难为易,化繁为简,同时还要注意解题步骤的规范性和严谨性.
试题解析:(1)依题意,
(2)证明:依题意,对任意正整数,即

数列是首项为,公比为的等比数列,
,又
数列是首项为,公比为的等比数列.
(3)由(2)得,解得,显然,数列是单调递增的数列,是单调递减的数列,即存在正整数,使得对任意的,有
又令,而
,解得,即对任意的时,
正整数也是唯一的.
综上所述,存在唯一的正整数,使得对任意的,有.
核心考点
试题【已知数列,满足,,且对任意的正整数,和均成等比数列.(1)求、的值;(2)证明:和均成等比数列;(3)是否存在唯一正整数,使得恒成立?证明你的结论.】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知等差数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若,求的值和的表达式
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列中,,则的值是(       )
A.15B.30C.31D.64

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数列满足:(   )
A.B.C.5D.6

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已知数列是等差数列,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
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在等差数列中,,记数列的前项和为,若恒成立,则正整数的最小值为(    )
A.5B.4C.3D.2

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