在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在正项数列{a_n}中，a₁＝2，a_n_＋1＝2a_n＋3×5ⁿ，则数列{a_n}的通项公式为________．

答案

a_n＝5ⁿ－3×2ⁿ^－1

解析

在递推公式a_n_＋1＝2a_n＋3×5ⁿ的两边同时除以5ⁿ^＋1，得

，①
令

＝b_n，则①式变为b_n_＋1＝

b_n＋

，即b_n_＋1－1＝

(b_n－1)，所以数列{b_n－1}是等比数列，其首项为b₁－1＝

－1＝－

，公比为

所以b_n－1＝

ⁿ^－1，即b_n＝1－

ⁿ^－1＝

，故a_n＝5ⁿ－3×2ⁿ^－1.

核心考点

试题【在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

设S_n为数列{a_n}的前n项和，若

(n∈N^*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c_n}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{c_n}是“和等比数列”，则d＝________.

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正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：

－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)令b_n＝

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n<

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已知函数f(x)＝(x－1)²，g(x)＝4(x－1)，数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S_n，点(a_n＋1，S_2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{b_n}满足b₁＝2，b_n≠1，且(b_n－b_n_＋1)·g(b_n)＝f(b_n)(n∈N_＋)．
(1)求a_n并证明数列{b_n－1}是等比数列；
(2)若数列{c_n}满足c_n＝