正项数列{an}的前n项和Sn满足：－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：

－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)令b_n＝

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n<

答案

（1）a_n＝2n（2）

解析

(1)由

－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0，得[S_n－(n²＋n)](S_n＋1)＝0，由于{a_n}是正项数列，所以S_n＋1>0.所以S_n＝n²＋n.n≥2时，a_n＝S_n－S_n_－1＝2n，n＝1时，a₁＝S₁＝2适合上式．∴a_n＝2n.
(2)由a_n＝2n，得
b_n＝

＝

T_n＝

＝

核心考点

试题【正项数列{an}的前n项和Sn满足：－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)＝(x－1)²，g(x)＝4(x－1)，数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为S_n，点(a_n＋1，S_2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{b_n}满足b₁＝2，b_n≠1，且(b_n－b_n_＋1)·g(b_n)＝f(b_n)(n∈N_＋)．
(1)求a_n并证明数列{b_n－1}是等比数列；
(2)若数列{c_n}满足c_n＝