题目

题型：不详难度：来源：

设等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即．
(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得： ；
(2)试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；
(3)若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列
,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．

答案

(1);(2)证明见解析；（3）不存在，证明见解析．

解析

试题分析：（1）仔细阅读题目，其实会发现第2小题已经给我们指明了方向，从第一个数开始适当划分，使每段的和为平方数，同时想办法满足，这样既完成了第1小题，又可完成第2小题，从最简单入手，，，因此思考是否可能有呢？，这样第1小题完成；（2）这类问题实质就是要我们作出一个符合条件的划分，由（1）的分析，可知只要，则所得划分就是符合题意的，事实上，，
，是完全平方数；（3）这类问题总是假设存在，然后推导，能求出就说明存在，不能求出或推导出矛盾的结论就说明不存在，可以计算出，数列必定是公比大于1的整数的等比数列，但事实上，，从而要求是完全平方数，这是不可能的，故假设错误，本题结论是不存在．
试题解析：（1）则;（4分）
(2)记即,又由，,所以第二段可取3个数，；再由，即,因此第三段可取9个数，即，依次下去, 一般地:,（6分）
所以，（8分）
（9分）
则．
由此得证．（11分）
（3）不存在．令,则 
假设存在符合题意的等比数列, 则的公比必为大于的整
数,(,因此，即
此时,注意到,  （14分）
要使成立,则必为完全平方数,（16分）
但,矛盾．因此不存在符合题意的等差数列．（18分）