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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列的前项和为的等差中项().
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使不等式恒成立,若存在,求出
的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) (2)存在,11
解析

试题分析:
(1)解法一:根据的等差中项,利用等差中项得到,()①,
时有 ②,则①-②可得,从而可得数列通项.
解法二:根据的等差中项,利用等差中项得到,()①,根据该式的结构特征,利用构造法,可构造出等比数列,从而求得,进而利用得到数列的通项.
(2)根据(1)的结论可知,数列是等比数列,所以可以得到其前项和;代入化简,讨论的奇偶发现, 为奇数时,恒成立; 为偶数时,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题,利用单调性可判断是否存在这样的正整数.
试题解析:(1)解法一:因为的等差中项,
所以),即,()①
时有 ②                             
①-②得,即都成立     
又根据①有,所以
所以. 所以数列是首项为1,公比为的等比数列.
解法二:  因为的等差中项,
所以),即,(
由此得),
,所以),
所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 
,即),
所以,当时,,     
时,也适合上式,所以.
(2)根据(1)的结论可知,
数列是首项为1,公比为的等比数列,
所以其前项和为.
原问题等价于)①恒成立.
为奇数时,不等式左边恒为负数,右边恒为正数,所以对任意正整数不等式恒成立;
为偶数时,①等价于恒成立,
,有,则①等价于恒成立,     
因为为正整数,二次函数的对称轴显然在轴左侧,
所以当时,二次函数为增函数,故只须,解得
所以存在符合要求的正整数,且其最大值为11.             求通项;构造等比数列法;分类讨论;二次函数在固定区间恒成立.
核心考点
试题【已知数列的前项和为,,是与的等差中项().(1)求数列的通项公式;(2)是否存在正整数,使不等式恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:
(ab)= a(b)+b(a), (2)="2," an=(n∈N*), bn=(n∈N*).
考察下列结论: ①(0)= (1); ②(x)为偶函数; ③数列{an}为等比数列; ④数列{bn}为等差数列.其中正确的结论共有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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已知,且,则的值为(     )
A.B.C.D.×2015

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设等差数列的前n项和为,且满足条件
(1)求数列的通项公式;
(2)令,若对任意正整数,恒成立,求的取值范围.
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数列的通项公式,则该数列第________项最大.
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两等差数列,前项和分别为,且,则等于         
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