题目
题型:不详难度:来源:
(1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;
(2)若互不相等正整数p,q,m,使得p+q=2m,证明:不等式SpSq<S成立;
(3)是否存在常数k和等差数列{an},使ka-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,试求出常数k和数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由。
答案
(1)S3n=3 S2n-3 Sn=60…
(2)略
(3)存在常数k=及等差数列an=n-使其满足题意
解析
∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn)
∴S3n=3 S2n-3 Sn=60…………………………………………………………………4分
(2)SpSq=pq(a1+ap)(a1+aq)
=pq[a+a1(ap+aq)+apaq]
=pq(a+2a1am+apaq)<()2[a+2a1am+()2]
=m2(a+2a1am+a)=[m(a1+am)]2
=S………………………………………………………………………8分
(3)设an=pn+q(p,q为常数),则ka-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1
Sn+1=p(n+1)2+(n+1)
S2n=2pn2+(p+2q)n
∴S2n-Sn+1=pn2+n-(p+q),
依题意有kp2n2+2kpqn+kq2-1= pn2+n-(p+q)对一切正整数n成立,
∴
由①得,p=0或kp=;
若p=0代入②有q=0,而p=q=0不满足③,
∴p≠0
由kp=代入②,
∴3q=,q=-代入③得,
-1=-(p-),将kp=代入得,∴P=,
解得q=-,k=
故存在常数k=及等差数列an=n-使其满足题意…………………12分
核心考点
试题【(12分)设{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项和(1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值;(2)若互不相等正整数p,q,m,使得p+q=2m,】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列满足,.
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
A.2008 | B.2009 | C.2010 | D.2011 |
A.2 | B.3 | C. | D.不存在 |
已知数列满足,(,),
若数列是等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当为奇数时,;
(Ⅲ)求证:().
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