题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分16分）
已知数列{a_n}满足S_n＋a_n＝2n＋1, 
(1) 写出a₁, a₂, a₃,并推测a_n的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

答案

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜测 a_n＝2－  (2)见解析

解析

解： (1) a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜测 a_n＝2－ ……5分
(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；……8分
②假设n＝k时,命题成立，即 a_k＝2－, ……10分
当n＝k＋1时, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k
∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－, 即当n＝k＋1时,命题成立. ……15分
根据①②得n∈N⁺  , a_n＝2－都成立 ……16分
思路分析：第一问利用S_n＋a_n＝2n＋1，递推得到a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜测 a_n＝2－
第二问中，1）已得当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时,命题成立，即 a_k＝2－,当n＝k＋1时, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k
∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－
综上可知成立。