题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
已知数列{}满足,
（I）写出,并推测的表达式；
（II）用数学归纳法证明所得的结论。

答案

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,   猜测  。(Ⅱ)见解析。

解析

试题分析： （1）根据数列的前几项来归纳猜想得到结论。
（2）在第一问的基础上，进一步运用数学归纳法来加以证明即可。
解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,   猜测    （4分）  
(Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得当n＝1时，命题成立；        
②假设时,命题成立，即＝2－,      （6分）
那么当时, ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,
且＋＋……＋＝2k＋1－ （8分）
∴2k＋1－＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2＝2＋2－, ＝2－,
即当n＝k＋1时,命题成立. 
根据①②得n∈N+  , ＝2－都成立   （13分）
点评：解决该试题的关键是猜想的正确性，以及和运用数学归纳法证明命题时，要注意假设的运用，推理论证得到证明。