当前位置:高中试题 > 数学试题 > 等差数列 > 设非常数数列{an}满足an+2=,n∈N*,其中常数α,β均为非零实数,且α+β≠0.(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0;(2)已知α...
题目
题型:不详难度:来源:
设非常数数列{an}满足an+2n∈N*,其中常数αβ均为非零实数,且αβ≠0.
(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0;
(2)已知α=1,βa1=1,a2,求证:数列{| an1an1|} (n∈N*,n≥2)与数列{n} (n∈N*)中没有相同数值的项.
答案
(1)等差数列的定义的运用,主要是根据相邻两项的差为定值来证明即可。
(2)由已知得,可知数列(n∈N*)为等比数列,进而得到,然后结合指数函数性质来得到。
解析

试题分析:(1)解:已知数列.
①充分性:若,则有,得
,所以为等差数列.                       4分
②必要性:若为非常数等差数列,可令(k≠0). 代入
,得.
化简得,即.                          
因此,数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0.                     8分
(2)由已知得.                               10分
又因为,可知数列(n∈N*)为等比数列,所以 (n∈N*).
从而有n≥2时, .
于是由上述两式,得 ).                12分
由指数函数的单调性可知,对于任意n≥2,| an1an1|=··.
所以,数列中项均小于等于.
而对于任意的n≥1时,n≥1+,所以数列{n}(n∈N*)中项均大于.
因此,数列与数列{n}(n∈N*)中没有相同数值的项.
16分
点评:解决的关键是对于概念的准确运用,以及利用函数的性质来证明数列之间的关系。属于中档题。
核心考点
试题【设非常数数列{an}满足an+2=,n∈N*,其中常数α,β均为非零实数,且α+β≠0.(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0;(2)已知α】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
在数列{an}(n∈N*)中,已知a1=1,a2k=-aka2k-1=(-1)k+1akk∈N*. 记数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求S5S7的值;
(2)求证:对任意n∈N*,Sn≥0.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列的首项为,对任意的,定义.
(Ⅰ) 若
(i)求的值和数列的通项公式;
(ii)求数列的前项和
(Ⅱ)若,且,求数列的前项的和.
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列项和为,则公差d的值为
A.2B.3C.-3D.4

题型:不详难度:| 查看答案
已知数列是首项为,公比的等比数列. 设,数列满足.
(Ⅰ)求证:数列成等差数列;    
(Ⅱ)求数列的前项和.
题型:不详难度:| 查看答案
已知等差数列中,,记数列的前项和为,若,对任意的成立,则整数的最小值为
A.5B.4C.3D.2

题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.