题目
题型:不详难度:来源:
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=3n+(-1)n-1λ·2an(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn.
答案
解析
+…+=,②
①-②得,=-=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1),
∵an>0,∴=Sn+Sn-1=2Sn-an,③
∵a1=1适合上式
当n≥2时,=2Sn-1-an-1,④
③-④得-=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1.
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1,可得an=n.
(2)由(1)知:bn=3n+(-1)n-1λ·2n
∴bn+1-bn=[3n+1+(-1)nλ·2n+1]-[3n+(-1)n-1λ·2n]=2·3n-3λ(-1)n-1·2n>0
∴(-1)n-1·λ<n-1,⑤
当n=2k-1,k=1,2,3,…时,⑤式即为λ<2k-2,⑥
依题意,⑥式对k=1,2,3,…都成立,∴λ<1,
当n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为λ>-2k-1,⑦
依题意,⑦式对k=1,2,3,…都成立,
∴λ>-,∴-<λ<1,又λ≠0,∴存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn.
核心考点
试题【设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有+…+=,记Sn为数列{an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=3n+(-1)n-1】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=,证明:bn≤.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的通项公式;(3)若,求数列的前项和.
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