题目

题型：不详难度：来源：

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)令b_n＝，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n<.

答案

（1）a_n＝2n（2）

解析

(1)由－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0，得[S_n－(n²＋n)](S_n＋1)＝0，由于{a_n}是正项数列，所以S_n＋1>0.所以S_n＝n²＋n.n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n，n＝1时，a₁＝S₁＝2适合上式．∴a_n＝2n.
(2)由a_n＝2n，得
b_n＝＝
T_n＝
＝<＝