题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}满足：a₂＝5，a₄＋a₆＝22，数列{b_n}满足b₁＋2b₂＋…
＋2^n－1b_n＝na_n，设数列{b_n}的前n项和为S_n.
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)求满足13<S_n<14的n的集合．

答案

（1）a_n＝2n＋1.b_n＝ (n≥2)．（2）{n|n≥6，n∈N^*}

解析

(1)设等差数列{a_n}的公差为d，则a₁＋d＝5，(a₁＋3d)＋(a₁＋5d)＝22.
解得a₁＝3，d＝2.∴a_n＝2n＋1.
在b₁＋2b₂＋…＋2^n－1b_n＝na_n中，令n＝1，则b₁＝a₁＝3，又b₁＋2b₂＋…＋2ⁿb_n＋1＝(n＋1)a_n＋1，
∴2ⁿb_n＋1＝(n＋1)a_n＋1－na_n.
∴2ⁿb_n＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3.
∴b_n＋1＝.∴b_n＝ (n≥2)．经检验，b₁＝3也符合上式，
则数列{b_n}的通项公式为b_n＝.
(2)S_n＝3＋7·＋…＋(4n－1)· ^n－1， S_n＝3·＋7· ²＋…＋(4n－5)· ^n－1＋(4n－1)  ⁿ.
两式相减得
 S_n＝3＋4－(4n－1)· ⁿ，∴S_n＝3＋4·－(4n－1)  ⁿ.∴S_n＝14－.
∴∀n∈N^*，S_n<14.
∵数列{b_n}的各项为正，∴S_n单调递增．又计算得S₅＝14－<13，S₆＝14－>13，
∴满足13<S_n<14的n的集合为{n|n≥6，n∈N^*}