题目

题型：不详难度：来源：

已知数列a_n＝n－16，b_n＝(－1)ⁿ|n－15|，其中n∈N^*.
(1)求满足a_n＋1＝|b_n|的所有正整数n的集合；
(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；
(3)记数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，求所有满足S_2m＝S_2n(m＜n)的有序整数对(m，n)．

答案

（1）{n|n≥15，n∈N^*}（2）(n＝18)，最小值-2(n＝17)（3）S₁₆＝S₁₄，m＝7，n＝8

解析

(1)a_n＋1＝|b_n|，n－15＝|n－15|.
当n≥15时，a_n＋1＝|b_n|恒成立；
当n<15时，n－15＝－(n－15)，n＝15(舍去)．
∴n的集合为{n|n≥15，n∈N^*}．
(2)＝.
(ⅰ)当n>16时，n取偶数时，＝，
当n＝18时，＝，无最小值；n取奇数时，＝－1－，
n＝17时，＝－2，无最大值．
(ⅱ)当n<16时，＝.
当n为偶数时，＝＝－1－.
n＝14时，＝－，＝－；
当n为奇数时，＝＝1＋，
n＝1时，＝1－＝，n＝15时，＝0.
综上，最大值为(n＝18)，最小值－2(n＝17)．
(3)当n≤15时，b_n＝(－1)^n－1(n－15)，a_2k－1b_2k－1＋a_2kb_2k＝2(16－2k)≥0，
当n>15时，b_n＝(－1)ⁿ(n－15)，a_2k－1b_2k－1＋a_2kb_2k＝2(2k－16)>0，其中a₁₅b₁₅＋a₁₆b₁₆＝0，
∴S₁₆＝S₁₄，m＝7，n＝8.