题目
题型:不详难度:来源:
(1)函数的零点从小到大排列,记为数列,求的前项和;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)设点是函数与图象的交点,若直线同时与函数,的图象相切于点,且
函数,的图象位于直线的两侧,则称直线为函数,的分切线.
探究:是否存在实数,使得函数与存在分切线?若存在,求出实数的值,并写出分切线方程;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识;考查运算求解能力、等价转化能力;考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法.第一问,先解三角方程,零点值构成等差数列,利用等差数列的通项公式,求和公式求;第二问,先将恒成立转化为,利用导数判断函数的单调性,求出最大值,得到a的取值范围;第三问,将函数和存在分切线转化为“”或“”在 上恒成立,结合(1)(2)判断是否符合题意,再进行证明.
试题解析:(1)∵, ∴ ∴,. 1分
∴, 2分
∴. 4分
(2)∵在上恒成立,
∴在上恒成立. 5分
设, ∴, 6分
∴在单调递增,单调递减,单调递增,单调递增,
∴的极大值为,
∴的最大值为, ∴ . 8分
(3)若函数与存在分切线,则有“”或“”在 上恒成立,
∵当时,,.
∴,使得, ∴在不恒成立.
∴只能是在上恒成立. 9分
∴由(2)可知, ∵函数与必须存在交点, ∴. 10分
当时,函数与的交点为,∵,
∴存在直线在点处同时与、相切,
∴猜测函数与的分切线为直线. 11分
证明如下:
①∵,
设,则.
令,则有.
∴在上单调递增,∴在上有且只有一个零点.
又∵,∴在单调递减,在单调递增,
∴,∴,
即在上恒成立.
∴函数的图象恒在直线的上方. 13分
②∵在上恒成立,
∴函数的图象恒在直线的下方.
∴由此可知,函数与的分切线为直线,
∴当时,函数与存在分切线,为直线. 14分
核心考点
试题【已知函数,.(1)函数的零点从小到大排列,记为数列,求的前项和; (2)若在上恒成立,求实数的取值范围;(3)设点是函数与图象的交点,若直线同时与函数,的图象相】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.27 | B.31 | C.30 | D.15 |
则使得的n的最大值为( ).
A.11 | B.19 | C.20 | D.21 |
A. | B. | C. | D. |
A.53 | B.40 | C.63 | D.76 |
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